A-Équations de premier degré à une inconnue:
1-DÉFINITION:
soient $a$ , $b$ et $x$ des nombres réels.
toute égalité de la forme : $ ax+b=0$ s’appelle équation de premier degré à une inconnue $x$
toute égalité de la forme : $ ax+b=0$ s’appelle équation de premier degré à une inconnue $x$
EXEMPLES:
les égalités suivantes sont des équations de premier degré à une seule inconnue $x$:
$
2x+3=0
$
$
-3x+5=6
$
$
\sqrt{2}x-7=\sqrt{7}
$
2-RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION:
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue telles que l’égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
Exercice d’application:
Résoudre les équations suivantes telles $x$ est un nombre réel.
$2x+\sqrt3=0$ ; $4x-5=7+4x$ ; $5-2(x+3)=-2x-1$ ; $\frac{3x+15}{5}=2x+3$
$2x+\sqrt3=0$ ; $4x-5=7+4x$ ; $5-2(x+3)=-2x-1$ ; $\frac{3x+15}{5}=2x+3$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
1/L’équation $2x+\sqrt3=0$ est respectivement équivalente à:
$2x=-\sqrt3$
$x=\frac{-\sqrt3}{2}$
donc cette équation admet une solution unique : $\frac{-\sqrt3}{2}$
2/L’équation $4x-5=7+4x$ est respectivement équivalente à:
$4x-4x=7+5$
$0.x=13$ (impossible)
Donc cette équation n’admet pas de solution.
3/L’équation $5-2(x+3)=-2x-1$ est respectivement équivalente à:
$5-2x-6=-2x-1$
$-2x+2x=-1+6-5$
$0.x=0$
Donc tous les nombres réels sont solutions de cette équation.
4/L’équation $\frac{3x+15}{5}=2x+3$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+15}{5}=\frac{10x+15}{5}$
$3x+15=10x+15$
$3x-10x=15-15$
$-7x=0$
$x=\frac{0}{-7}=0$
donc cette équation admet une solution unique : $0$
$2x=-\sqrt3$
$x=\frac{-\sqrt3}{2}$
donc cette équation admet une solution unique : $\frac{-\sqrt3}{2}$
2/L’équation $4x-5=7+4x$ est respectivement équivalente à:
$4x-4x=7+5$
$0.x=13$ (impossible)
Donc cette équation n’admet pas de solution.
3/L’équation $5-2(x+3)=-2x-1$ est respectivement équivalente à:
$5-2x-6=-2x-1$
$-2x+2x=-1+6-5$
$0.x=0$
Donc tous les nombres réels sont solutions de cette équation.
4/L’équation $\frac{3x+15}{5}=2x+3$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+15}{5}=\frac{10x+15}{5}$
$3x+15=10x+15$
$3x-10x=15-15$
$-7x=0$
$x=\frac{0}{-7}=0$
donc cette équation admet une solution unique : $0$
3-RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION $(ax+b)(cx+d)=0$:
DÉFINITION:
soient $a$ , $b$,$c$ , $d$ et $x$ des nombres réels.
Les solutions de l’équation $(ax+b)(cx+d)=0$ sont les solutions des équations $ax+b=0$ et $cx+d=0$
Les solutions de l’équation $(ax+b)(cx+d)=0$ sont les solutions des équations $ax+b=0$ et $cx+d=0$
Exercice d’application:
Résoudre les équations suivantes telles $x$ est un nombre réel.
$(2x-3)(3x+\sqrt5)=0$ ; $x(3x-1)=0$ ; $7x(x+2)=(x+2)(3x+5)$ ; $x²-49=x(x-7)$
$(2x-3)(3x+\sqrt5)=0$ ; $x(3x-1)=0$ ; $7x(x+2)=(x+2)(3x+5)$ ; $x²-49=x(x-7)$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
1/L’équation $(2x-3)(3x+\sqrt5)=0$ est respectivement équivalente à:
$2x-3=0$ ou $3x+\sqrt5=0$
$2x=3$ ou $3x=-\sqrt5$
$x=\frac{3}{2}$ ou $3x=\frac{-\sqrt5}{3}$
Donc cette équation admet deux solutions: $\frac{3}{2}$ et $\frac{-\sqrt5}{3}$
2/L’équation $x(3x-1)=0$ est respectivement équivalente à:
$x=0$ ou $3x-1=0$
$x=0$ ou $3x=1$
$x=0$ ou $x=\frac{1}{3}$
Donc cette équation admet deux solutions: $0$ et $\frac{1}{3}$
3/L’équation $7x(x+2)=(x+2)(3x+5)$ est respectivement équivalente à:
$7x(x+2)-(x+2)(3x+5)=0$
$(x+2)[7x-(3x+5)]=0$
$(x+2)(7x-3x-5)=0$
$(x+2)(4x-5)=0$
$x+2=0$ ou $4x-5=0$
$x=-2$ ou $4x=5$
$x=-2$ ou $x=\frac{5}{4}$
Donc cette équation admet deux solutions: $-2$ et $\frac{5}{4}$
4/L’équation $x²-49=x(x-7)$ est respectivement équivalente à:
$(x-7)(x+7)=x(x-7)$
$(x-7)(x+7)-x(x-7)=0$
$(x-7)[(x+7)-x]=0$
$(x-7)(x+7-x)=0$
$(x-7)(7)=0$
$x-7=0$
$x=7$
Donc cette équation admet une solution unique : $7$
$2x-3=0$ ou $3x+\sqrt5=0$
$2x=3$ ou $3x=-\sqrt5$
$x=\frac{3}{2}$ ou $3x=\frac{-\sqrt5}{3}$
Donc cette équation admet deux solutions: $\frac{3}{2}$ et $\frac{-\sqrt5}{3}$
2/L’équation $x(3x-1)=0$ est respectivement équivalente à:
$x=0$ ou $3x-1=0$
$x=0$ ou $3x=1$
$x=0$ ou $x=\frac{1}{3}$
Donc cette équation admet deux solutions: $0$ et $\frac{1}{3}$
3/L’équation $7x(x+2)=(x+2)(3x+5)$ est respectivement équivalente à:
$7x(x+2)-(x+2)(3x+5)=0$
$(x+2)[7x-(3x+5)]=0$
$(x+2)(7x-3x-5)=0$
$(x+2)(4x-5)=0$
$x+2=0$ ou $4x-5=0$
$x=-2$ ou $4x=5$
$x=-2$ ou $x=\frac{5}{4}$
Donc cette équation admet deux solutions: $-2$ et $\frac{5}{4}$
4/L’équation $x²-49=x(x-7)$ est respectivement équivalente à:
$(x-7)(x+7)=x(x-7)$
$(x-7)(x+7)-x(x-7)=0$
$(x-7)[(x+7)-x]=0$
$(x-7)(x+7-x)=0$
$(x-7)(7)=0$
$x-7=0$
$x=7$
Donc cette équation admet une solution unique : $7$
A-Inéquations du premier degré à une inconnue:
1-DÉFINITION:
soient $a$ , $b$ et $x$ des nombres réels.
toute inégalité de la forme : $ ax+b>0$ ou $ ax+b\geq0$ ou $ ax+b<0$ ou $ ax+b\leq0$ s'appelle inéquation de premier degré à une inconnue $x$
toute inégalité de la forme : $ ax+b>0$ ou $ ax+b\geq0$ ou $ ax+b<0$ ou $ ax+b\leq0$ s'appelle inéquation de premier degré à une inconnue $x$
EXEMPLES:
les inégalités suivantes sont des inéquations de premier degré à une seule inconnue $x$:
$2x+3\geq0$
$-3x+5\leq6$
$\sqrt{2}x-7<\sqrt{7}$
$2x+3\geq0$
$-3x+5\leq6$
$\sqrt{2}x-7<\sqrt{7}$
2-RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION:
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue telles que l’inégalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’inéquation.
Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’inéquation.
EXEMPLES:
résoudre les inéquations suivantes:
$3x-6\geq0$ ; $4x-5>7+4x$ ; $5-2(x+3)\geq-2x-1$ ; $\frac{3x+15}{5}>2x+3$
$3x-6\geq0$ ; $4x-5>7+4x$ ; $5-2(x+3)\geq-2x-1$ ; $\frac{3x+15}{5}>2x+3$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
1/L’inéquation $3x-6\geq0$ est respectivement équivalente à:
$3x\geq6$
$x\geq\frac{6}{3}$
$x\geq2$
Donc tous les nombres réels supérieurs ou égaux à 2 sont solutions de cette inéquation.
2/L’équation $4x-5>7+4x$ est respectivement équivalente à:
$4x-4x>7+5$
$0.x>13$
$0>13$ (impossible)
Donc cette inéquation n’admet pas de solution réel.
3/L’équation $5-2(x+3)\geq-2x-1$ est respectivement équivalente à:
$5-2x-6\geq-2x-1$
$-2x+2x\geq-1+6-5$
$0.x\geq0$
$0\geq0$ (toujours vraie)
Donc tous les nombres réels sont solutions de cette inéquation.
4/L’équation $\frac{3x+15}{5}>2x+3$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+15}{5}>\frac{10x+15}{5}$
$3x+15>10x+15$
$3x-10x>15-15$
$-7x>0$
$x<\frac{0}{-7}=0$ Donc tous les nombres réels inférieurs strictement à 0 sont solutions de cette inéquation.
$3x\geq6$
$x\geq\frac{6}{3}$
$x\geq2$
Donc tous les nombres réels supérieurs ou égaux à 2 sont solutions de cette inéquation.
2/L’équation $4x-5>7+4x$ est respectivement équivalente à:
$4x-4x>7+5$
$0.x>13$
$0>13$ (impossible)
Donc cette inéquation n’admet pas de solution réel.
3/L’équation $5-2(x+3)\geq-2x-1$ est respectivement équivalente à:
$5-2x-6\geq-2x-1$
$-2x+2x\geq-1+6-5$
$0.x\geq0$
$0\geq0$ (toujours vraie)
Donc tous les nombres réels sont solutions de cette inéquation.
4/L’équation $\frac{3x+15}{5}>2x+3$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+15}{5}>\frac{10x+15}{5}$
$3x+15>10x+15$
$3x-10x>15-15$
$-7x>0$
$x<\frac{0}{-7}=0$ Donc tous les nombres réels inférieurs strictement à 0 sont solutions de cette inéquation.
C-La résolution des problèmes :
1-RÈGLE :
Pour résoudre un problème on suit les étapes suivantes:
1/ Choix de l’inconnue.
2/ Mise en équation (inéquation).
3/ Résolution de l’équation (inéquation) et vérification.
4/ Retour au problème.
problème 1:
La somme des âges de Driss , de Hamid et de sa Yassine est 90 ans.
Driss a le double de l’âge de Hamid et l’âge de Yassine est le tiers de celui de Hamid.
Quel est l’âge de chacune ?
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
1/ Le Choix de l’inconnue :
Soit $x$ l’âge de Hamid en annés
2/La Mise en équation :
on a L’âge de Hamid est x donc L’âge de Driss est $2x$ et celui de Yassine est $\frac{x}{3}$
et comme la somme des âges est 90 ans alors :
$$x+2x+\frac{x}{3}=90$$
3/La Résolution de l’équation :
L’équation $x+2x+\frac{x}{3}=90$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+6x+x}{3}=90$
$3x+6x+x=3\times90$
$10x=270$
$x=\frac{270}{10}$
$x=27$
Donc la solution de cette équation est : 27
4/Le Retour au problème :
L’âge de Hamid est : 27 ans.
L’âge de Driss est : 27×2=54 ans.
L’âge de Yasine est : 27/3= 9 ans.
Soit $x$ l’âge de Hamid en annés
2/La Mise en équation :
on a L’âge de Hamid est x donc L’âge de Driss est $2x$ et celui de Yassine est $\frac{x}{3}$
et comme la somme des âges est 90 ans alors :
$$x+2x+\frac{x}{3}=90$$
3/La Résolution de l’équation :
L’équation $x+2x+\frac{x}{3}=90$ est respectivement équivalente à:
$\frac{3x+6x+x}{3}=90$
$3x+6x+x=3\times90$
$10x=270$
$x=\frac{270}{10}$
$x=27$
Donc la solution de cette équation est : 27
4/Le Retour au problème :
L’âge de Hamid est : 27 ans.
L’âge de Driss est : 27×2=54 ans.
L’âge de Yasine est : 27/3= 9 ans.
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