A-La racine carrée d’un nombre réel positif:

1-DÉFINITION:

Soit $a$ un nombre réel positif ou nul ( c’est-à-dire ) : $a\geq0$
La racine carrée de $a$ c’est le nombre réel positif dont le carré est égale à $a$ noté $\sqrt{a}$.
-Le symbole $\sqrt{ }$ s’appelle : symbole radical.

EXEMPLES:

-Le nombre réel positif dont le carré est égale à 4 est 2 On dit que 2 est la racine carrée de 4, notée $\sqrt{4}$ On écrit :$\sqrt{4}=2$ ( c’est une racine carrée entière )
-Le nombre réel positif dont le carré est égale à 0,25 est 0,5 On dit que 0,5 est la racine carrée de 0,25 notée : $\sqrt{0,25}$ On écrit :$\sqrt{0,25}=0,5$ ( c’est une racine carrée décimale )
-Le nombre réel positif dont le carré est égale à $\frac{25}{9}$ est $\frac{5}{3}$ On dit que $\frac{5}{3}$ est la racine carrée de $\frac{25}{9}$ notée : $\sqrt{\frac{25}{9}}$ On écrit : $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$ ( c’est une racine carrée rationnelle )


2-REMARQUES IMPORTANTES :

-La racine carrée d’un nombre positif n’est jamais négative
-La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.($\sqrt{-4}$ n’existe pas)
-L’opposé de $\sqrt{a}$ ( avec $a\geq0$ ) est : $-\sqrt{a}$ (L’opposé de $\sqrt{13}$ est : $-\sqrt{13}$)


3-DES RACINES CARRES A APPRENDRE PAR CŒUR :

$\sqrt{0}=0$   ;   $\sqrt{1}=1$   ;   $\sqrt{4}=2$   ;   $\sqrt{9}=3$   ;   $\sqrt{16}=4$   ;   $\sqrt{25}=5$   ;   $\sqrt{36}=6$   ;   $\sqrt{49}=7$   ;   $\sqrt{64}=8$   ;   $\sqrt{81}=9$   ;   $\sqrt{100}=10$   ;   $\sqrt{121}=11$   ;   $\sqrt{144}=12$   ;   $\sqrt{169}=13$

Exercice d’application:

Simplifier les nombres suivants :

$\sqrt{121}$   ;   $\sqrt{\frac{16}{81}}$   ;   $\frac{\sqrt{36}}{4}$   ;   $\frac{1}{\sqrt{25}}$

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3-PROPRIÉTÉS (Le carré d’une racine carrée) :

Soit $a$ un nombre réel tel que $a\gt0$.
on a :
$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$     et     $\sqrt{(-a)^2}=a$

Exercice d’application:

Calculer les racines carrées suivantes :
$\sqrt{5^2}$   ;   $\left(\sqrt{\frac{15}{9}}\right)^2$   ;   $\sqrt{\left(\frac{-3}{7}\right)^2}$


Solution :


B-Les opérations sur les racines carrées :


1-Propriété: Produit de deux racines carrées:


Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs ( c’est-à-dire : $a\gt0$ et $b\gt0$
on a :
$$\sqrt{a \times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$$
et donc :
$$\sqrt{a^2\times b}=a\times\sqrt{b}=a\sqrt{b}$$

Exemples:

$\sqrt8\times\sqrt2=\sqrt{8\times2}=\sqrt{16}=4$   ;   $\sqrt2\times\sqrt3\times\sqrt6=\sqrt{2\times3\times6}=\sqrt{36}=6$   ;   $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{4^2\times 2}=4\sqrt{2}$


2-Propriété: Quotient de deux racines carrées:


Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs et $b\neq0$
on a :
$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Exemples:


$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$$
$$\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{2^2\times3}=2\sqrt{3}$$


3-Propriété: Rendre un dénominateur rationnel ( supprimer le radical au dénominateur ):


Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs tels que $b\neq0$
on a :
$$\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{b}$$
$$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a \times \sqrt{b}}{b}$$
et :
$\frac{1}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a-b}$ (avec $a\neq b$)

Exercice d’application:


rendre le dénominateur rationnel dans les exemples suivants:
$\sqrt{\frac{1}{2}}$  ;  $\frac{5}{\sqrt{3}}$  ;  $\frac{1}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}}$


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C-Résolution de l’équation $x^2=a$ :


PROPRIÉTÉS :

Soient $a$ un nombre réel:
-si $a>0$ alors l’équation $x^2=a$ admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
-si $a=0$ alors l’équation $x^2=a$ admet une seule solution : le nombre 0.
-si $a<0$ alors l’équation $x^2=a$ n'admet pas de solution.

Exercice d’application:


Résoudre les équations suivantes:
$$2x^2=18$$   $$x^2+5=2$$ $$5(x^2+2)=10$$


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