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Repère dans le plan
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REPERE DANS LE PLAN

collège, cours mathématiques 3ème collège | 0 |

EXERCICES D'APPLICATION:​
EXERCICE 1:
corrigé:
EXERCICE 1:

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$.
Plaçez les points: $A\left(3;2\right)$ ; $B\left(3;0\right)$ ; $C\left(0;3\right)$ : $E\left(-3;-2\right)$ ; $F\left(2;-3\right)$.

corrigé:
EXERCICE 2:
corrigé:
EXERCICE 2:
Soient $A\left(4;3\right)$ ; $B\left(-2;-3\right)$ et $M$ trois points du plan rapporté à un repère Orthonormé $(O;I;J)$ tels que $M$ est le milieu du segment $[AB]$.
Déterminons les coordonnées du point $M$ .
corrigé:

On a $M$ est le milieu du segment $[AB]$:

donc : $M\left(\frac{X_A+X_B}{2};\frac{Y_A+Y_B}{2}\right)$

$M\left(\frac{4+(-2)}{2};\frac{3+(-3)}{2}\right)$

$M\left(\frac{2}{2};\frac{0}{2}\right)$

$M\left(1;0\right)$

 
EXERCICE 3:
corrigé:
EXERCICE 3:

Soient $A\left(4;3\right)$ ; $B\left(-2;-3\right)$ et $C\left(5;8\right)$ trois points du plan rapporté à un repère Orthonormé $(O;I;J)$ .
1-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
2-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ .

corrigé:

1-Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
on a : $\left\{\begin{matrix}X_B-X_A=-2-4=-6\\Y_B-Y_A=-3-3=-6\\\end{matrix}\right.$
donc : $\overrightarrow{AB}\left(-6;-6\right)$

2-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ .
on a : $\overrightarrow{BC}\left(X_C-X_B;Y_C-Y_B\right)$
$\overrightarrow{BC}\left(5-(-2);8-(-3)\right)$
$\overrightarrow{BC}\left(5+2;8+3\right)$
$\overrightarrow{BC}\left(7;11\right)$

 
EXERCICE 4:
corrigé:
EXERCICE 4:

Soient $A\left(4;3\right)$ ; $B\left(-2;-3\right)$ et $C\left(5;8\right)$ trois points du plan rapporté à un repère Orthonormé $(O;I;J)$ .
1-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
2-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ .Soient $A\left(4;3\right)$ ; $B\left(-2;-3\right)$ ; $C\left(5;8\right)$ et $D\left(-1;2\right)$ des point du plan rapporté à un repère Orthonormé $(O;I;J)$ .

1-Comparer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. 

2-Que peut-on dire du quadrilatère $ABDC$.

corrigé:

1-Comparons les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

on a : $\left\{\begin{matrix}X_B-X_A=-2-4=-6\\Y_B-Y_A=-3-3=-6\\\end{matrix}\right.$

donc  : $\overrightarrow{AB}\left(-6;-6\right)$

 et on a : $\left\{\begin{matrix}X_D-X_C=-1-5=-6\\Y_D-Y_C=2-8=-6\\\end{matrix}\right.$

donc  : $\overrightarrow{CD}\left(-6;-6\right)$

et finalement : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

2-nature du quadrilatère $ABDC$:

on a d’après la question 1 : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

donc : le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. 

 
EXERCICE 5:
corrigé:
EXERCICE 5:

Soient $\overrightarrow{AB}\left(7;-2\right)$ et  $\overrightarrow{MN}\left(-4;5\right)$ deux vecteurs

chercher les cordonnées du vecteur :  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}$. 

corrigé:

cherchons les cordonnées du vecteur :  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}$. </li>

on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}\left(7+(-4);(-2)+5\right)$

D’où :  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}\left(3;3\right)$.

 
EXERCICE 6:
corrigé:
EXERCICE 6:

Soient $\overrightarrow{AB}\left(7;-2\right)$ et  $\overrightarrow{MN}\left(-4;5\right)$ deux vecteurs

chercher les cordonnées du vecteur :  $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{MN}$. 

corrigé:

<li>cherchons les cordonnées du vecteur :   $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{MN}$. </li>

on a : $2\overrightarrow{AB}\left(2\times 7;2\times (-2)\right)$

D’où :  $\overrightarrow{AB}\left(14;-4\right)$.

et on : $-3\overrightarrow{MN}\left(-3\times (-4);-3\times 5\right)$

D’où :  $\overrightarrow{AB}\left(12;-15\right)$.

et donc :  $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{MN}\left(14+12;(-4)+(-15)\right)$

finalement : $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{MN}\left(26;-19\right)$

 
EXERCICE 7:
corrigé:
EXERCICE 7:

Soient $A\left(1;3\right)$ ; $B\left(7;5\right)$ et $C\left(5;8\right)$ trois points du plan rapporté à un repère Orthonormé $(O;I;J)$ .

1-Calculer la distance  $AB$ . 

2-Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ puis la distance $BC$.

 
corrigé:

1-Calculons la distance  $AB$ . 

On a : $AB=\sqrt{{(X_B-X_A)}^2+{(Y_B-Y_A)}^2}$

D’où : $AB=\sqrt{{(7-1)}^2+{(5-3)}^2}$

D’où : $AB=\sqrt{{(6)}^2+{(2)}^2}$

D’où : $AB=\sqrt{36+4}$

D’où : $AB=\sqrt{40}$

D’où : $AB=\sqrt{4\times 10}$

D’où : $AB=2\sqrt{10}$

2-Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ puis la distance $BC$.

On a : $\overrightarrow{BC}\left(X_C-X_B;Y_C-Y_B\right)$

D’où : $\overrightarrow{BC}\left(5-7;7-8\right)$

D’où : $\overrightarrow{BC}\left(2;-1\right)$

D’où : $BC=\sqrt{{2}^2+{(-1)}^2}$

D’où : $BC=\sqrt{4+1}$

D’où : $BC=\sqrt{5}$

Exercices de synthèse:
EXERCICE 8:
EXERCICE 8:

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$.
1- placer les points : $A(-3;-3)$,$B(-4;3)$,$C(2;2)$,$M(0;-4)$,$N(4;0)$.
2- a)- Montrer que $\overrightarrow{AB}(-1;6)$.

b)- Calculer $AB$.

c)- Calculer $BC$.

3-Déterminer le couple des coordonnées de $D$, pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

4-Déterminer le couple des coordonnées du point $G$, milieu du segment $[AB]$.

5-Vérifier que le point $H(-1;\frac{5}{2})$ est le milieu du segment $[BC]$.

6- Calculer la distance $3AC$.

7-Déterminer le couple de coordonnées du point E, sachant que $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

8- On considère le vecteur $\overrightarrow{BF}(5;7)$. Déterminer les coordonnées du point $F$.

EXERCICE 9:
EXERCICE 9:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$.
On considère les points : $A(2;5)$,$B(-4;1)$,$C(-2;-1)$,$D(4;3)$.
1- Déterminer les coordonnées du vecteur $\frac{-1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$
2- Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
3- Montrer que le point $E(6;1)$ est l’image de $C$ par la translation qui transforme $B$ en $D$.
4- Déterminer le couple de coordonnées de $G$, le symétrique de $A$ pa rapport à $C$.
5- Déterminer le couple de coordonnées de $F$, l’image de A par la translation du vecteur $\overrightarrow{BD}$.

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