A-Développement:
1- Définition:
Développer une expression algébrique, c’est la transformer en une somme algébrique.
2- Propriétés:
$$soient\ a,b,k,c,d\ des\ nombres\ réels:$$ on a
$$k(a+b)=ka+kb$$
$$k(a-b)=ka-kb$$
$$(a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd$$
Exercice d’application:
Développer puis réduiser lorsque c’est possible les expressions suivantes :
$$A=2x\left(x+7\right)$$ $$B=3x^2\left(7-3x\right)$$ $$C=-x\left(4-3x-2x^2\right)$$ $$D=(3-x)(2x+1)$$
solution (cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
$$\begin{aligned}
A&=2x\left(x+7\right)\\
&= 2x\times x+2x\times 7 \\
&=2x^2+14x \\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
B&=3x^2\left(7-3x\right)\\
&= 3x^2\times 7-3x^2\times 3x \\
&=21x^2-9x^3 \\
\end{aligned}
$$$$
\begin{aligned}
C&=-x\left(4-3x-2x^2\right)\\
&= -x\times 4+x\times 3x +x\times 2x^2 \\
&=-4x+3x^2+2x^3 \\
\end{aligned}
$$$$
\begin{aligned}
D&=(3-x)(2x+1)\\
&= 3\times 2x+3\times 1 -x\times 2x-x\times 1 \\
&=6x+3-2x^2-x \\
&=-2x^2+6x-x+3 \\
&=-2x^2+5x+3 \\
\end{aligned}$$
B-Factorisation:
1- Définition:
Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit de sommes algébriques.
2- Propriétés:
$$soient\ a,b,k\ des\ nombres\ réels:$$ on a :
$$ka+kb=k(a+b)$$
$$ka-kb=k(a-b)$$
$k$ est appelé le facteur commun
Exercice d’application:
Factoriser les expressions suivantes:
$$A=x^2+2x$$
$$B=3x^2-6x$$
$$C=7(x-7)-x(x-7)+4(x-7)$$
$$D=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2$$
solution : (cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
$$\begin{aligned}
A&=x^2+2x \\
&= x\times x+x\times 2 \\
&=x(x+2) \\
\end{aligned}$$$$
\begin{aligned}
B&=3x^2-6x^3 \\
&= 3x^2\times 1-3x^2\times 2x \\
&=3x^2(1-2x) \\
\end{aligned}
$$$$
\begin{aligned}
C&=7(x-7)-x(x-7)+4(x-7) \\
&= (x-7)\times 7-(x-7)\times x +(x-7)\times 4 \\
&=(x-7)(7-x+4) \\
&=(x-7)(11-x) \\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
D&=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2\\
&= (x-5)\times (3x-2)+(x-5)\times (x-5) \\
&=(x-5)[(3x-2)+(x-5)] \\
&=(x-5)[3x-2+x-5] \\
&=(x-5)[3x+x-2-5]\\
&=(x-5)[2x-7]\\
\end{aligned}
$$
C- Identités remarquables:
1- Développement:
$$soient\ a\ et\ b\ deux\ nombres\ réels:$$
on a :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Exercice d’application:
Développer puis réduiser lorsque c’est possible les expressions suivantes :
$$
A=(x-5)^2
$$
$$
B=(3x+2)^2
$$
$$
C=(3x+5)(3x-5)
$$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
$$
\begin{aligned}
A&=(x-5)^2 \\
&=x^2 -2\times x\times 5 +5^2 \\
&=x^2 -10x +25\\
\end{aligned}
$$$$
\begin{aligned}
B&=(3x+2)^2 \\
&=(3x)^2 +2\times 3x\times 2 +2^2 \\
&=9x^2+12x+4\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
C&=(3x+5)(3x-5) \\
&=(3x)^2 -5^2 \\
&=9x^2-25\\
\end{aligned}
$$
2- Factorisation:
$$soient\ a\ et\ b\ deux\ nombres\ réels:$$
on a :
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Exercice d’application:
Factoriser puis réduire les expressions suivantes:
$$
A=x^2+8x+16
$$
$$
B=4x^2-12x+9
$$
$$
C=x^2-81
$$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
$$
\begin{aligned}
A&=x^2+8x+16 \\
&=x^2 +2\times x\times 4 +4^2 \\
&=(x+4)^2\\
\end{aligned}
$$$$
\begin{aligned}
B&=4x^2-12x+9 \\
&=(2x)^2 +2\times 2x\times 3 +3^2 \\
&=(2x-3)^2\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
C&=x^2-81 \\
&=x^2 -9^2 \\
&=(x-9)(x+9)\\
\end{aligned}
$$
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