A- Puissance d’un nombre réel :

1-définition :

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel non nul.
$$a^n=\underbrace {a\times a \times a \times a \times …….. \times a }_{n \enspace facteurs }$$


exemple:

  • $5^3=5\times 5 \times 5$
  • $\sqrt{3}^4=\sqrt{3}\times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}$


    • Remarques :

    Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel.

  • $a^0=1\qquad avec: \qquad (a\ne 0)$
  • $a^1=a$
  • $0^n=1 \qquad avec: \qquad (n\ne 0)$
  • $0^0 \qquad n’existe \qquad pas$


    • exemple:

  • $\left(\frac{-5}{3} \right)^1=\frac{-5}{3} $
  • $\left( \sqrt{\frac{100}{3}}\right) ^0=1 $
  • $0^{2021}=0$


    • 2-Le signe d’une puissance :

    Propriété :

    Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel non nul.

  • Si $a$ est positif , alors $a^n$ est positif quel que soit $n$
  • Si $a$ est négatif , alors: $\begin{cases} si\ n\ est\ paire\ alors\ \ a^n\ est\ positif \\ si\ n\ est\ impaire\ alors\ \ a^n\ est\ négatif \end{cases}$


    • exemple:

  • $\left(\frac{-5}{3} \right)^{119} $ est un nombre négatif
  • $\left(-\sqrt{\frac{100}{3}}\right) ^{2024}$ est un nombre positif


    • Exercice d’application :

    prochainement


    3- Puissances à exposant négatif:

    Propriété :

    Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel non nul.
    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n$ un nombre entier naturel
    on a :
    $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ $\qquad ; \qquad$ $\left( \frac{a}{b}\right)^{-n}=\left( \frac{b}{a}\right)^{n}$


    exemple:

    prochainement

    3. PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES

  • Les puissances possèdent des propriétés très spécifiques permettant des calculs rapides:
  • pour tous les propriétés Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et soient $n$ et $p$ deux nombres entiers relatifs.

    • 3-1 propriété 1: (Produit de deux puissances de même exposant )

    $$a^n \times a^p=a^{n+p}$$


    exemple:

    $4^5 \times 4^3=4^{5+3}=4^{8}$ $\qquad ; \qquad$ $\sqrt{3}^7 \times \sqrt{3}^{-2}=\sqrt{3}^{7+(-2)}=\sqrt{3}^{5}$


    3-2 propriété 2: (Quotient de deux puissances de même exposant )

    $$\frac{a^n}{a^p} =a^{n-p}$$


    exemple:

    $\frac{\sqrt{3}^7}{\sqrt{3}^2} =\sqrt{3}^{7-2}=\sqrt{3}^5$ $\qquad ; \qquad$ $\frac{3^{14}}{3^{-10}} =3^{14+10}=3^{24}$


    3-3 propriété 3: (Puissance d’une puissance)

    $$\left(a^n\right)^p =a^{n\times p}$$


    exemple:

    $\left(\sqrt{3}^3\right)^{2} =\sqrt{3}^{3 \times 2}=\sqrt{3}^6$ $\qquad ; \qquad$ $\left(\left(\frac{3}{2}\right)^7\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2 \times -7}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-14}$


    3-4 propriété 4: (Puissance d’un produit)

    $$\left(a \times b\right)^n=a^n \times b^n$$


    exemple:

    $\sqrt{8}^3 \times \sqrt{2}^3=\sqrt{8\times 2}^3=\sqrt{16}^3=4^3=64$


    3-5 propriété 5: (Puissance d’un quotient)

    $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$


    exemple:

    $\frac{25^{-2}}{15^{-2}}=\left(\frac{25}{15}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$


    A- 3. LES PUISSANCES DE 10 :

    1- Propriétés :

    Soit $n$ un nombre entier naturel non nul.
    $10^n=1\underbrace {00000 ……..0}_{n \enspace zéros }$ $\qquad ; \qquad$ $10^{-n}=\underbrace {0,00000 ……..0}_{n \enspace zéros}1$


    exemple:

    $10^5=1\underbrace {00000}_{5 \enspace zéros }$ $\qquad ; \qquad$ $10^{-9}=\underbrace {0,00000000}_{9 \enspace zéros}1$
    $1\underbrace {0000000}_{7 \enspace zéros }=10^7$ $\qquad \qquad ; \qquad$ $\underbrace {0,0000000000}_{11 \enspace zéros}1=10^{-11}$


    2- Ecriture scientifique :

    Définition : :

    ➤Tout nombre décimal positif $x$ peut s’écrire de façon unique sous la forme $x=a×10^n$
    où $n$ est un entier et $a$ un nombre décimal tel que $1 ≤ a < 10$.
      ➤L’écriture $x=a×10^n$ s’appelle écriture scientifique du nombre décimal $x$.


    exemple:

    Donner l’écriture scientifique des expressions suivantes :
    ➤ a = 2360000 ; b = 0,00023
    ➤solution : a$=2360000=2,36×10^6$ $\qquad \qquad ; \qquad$ b$=0,00023=2,3×10^{-4}$