A- Équation réduite d’une droite :

1-définition :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, chaque droite $(\Delta)$ non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme : $y=mx+p$.
on écrit : $(\Delta):y=mx+p$

  • le nombre réel $m$ est appelé : le coefficient directeur ( ou la pente ) de la droite $(\Delta)$.
  • le nombre réel $p$ est appelé : l’ordonnée à l’origine de la droite $(\Delta)$.

  • exemple:

    Soit$(D)$ une droite d’équation réduite : $y=\frac{-3}{2}x+7$.

  • Le coefficient directeur ( ou la pente ) de la droite $(D)$ est : $\frac{-3}{2}$
  • L’ordonnée à l’origine de la droite (D)est : $7$
  • 2-remarque importante :

    Soit $(\Delta)$ une droite d’équation réduite : $y=mx+p$ et $A(X_A;Y_A)$ un point Dans le plan rapporté à un repère orthonormé,

  • si : $Y_A=mX_A+p$     alors :     $A\in(\Delta)$
  • si : $A\in(\Delta)$     alors :    $Y_A=mX_A+p$

  • Exercice d’application:

    On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$.
    Traçer la droite $(D):y=-3x+2$



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    3-cas particuliers :

  • Toute droite qui a pour équation réduite $y=m$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe le point de coordonnées $(0;a)$.
  • Toute droite qui a pour équation réduite $x=p$ est parallèle à l’axe des ordonnées et passe le point de coordonnées $(b;0)$.

  • exemples:

    B- le coefficient directeur ( ou la pente ) d’une droite. :

    1-Propriété :

    Dans le plan rapporté à un repère orthonormé,
    si : $y=mx+p$ est une équation réduite de la droite $(AB)$
    alors : $m=\frac{Y_A-Y_B}{X_A-X_B}$ avec $X_A\ne X_B$
    aussi : $m=\frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A}$


    Exercice d’application:

    Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ , on considère les points $A(5;1)$ et $B(2;-3)$.

  • chercher l’équation réduite de la droite $(AB)$
  • C- Droites parallèles et Droites perpendiculaires:

    1-Droites parallèles :

    1-1 Propriété :

    Soient $m$ et $m’$ les coefficients directeurs respectifs des droites $(D)$ et $(\Delta)$ .
    si : $(D) // (\Delta)$ alors : $m=m’$.
    si : $m=m’$ alors : $(D) // (\Delta)$


    Exercice d’application:

    soit le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ .

  • Déterminer l’équation réduite de la droite $(D)$ qui passe par le point A(-1;2) et qui est parallèle à la droite : $(\Delta) : y=2x-1$
  • 2-Droites perpendiculaires :

    2-1 Propriété :

    Soient $m$ et $m’$ les coefficients directeurs respectifs des droites $(D)$ et $(\Delta)$ .
    si : $(D) \perp (\Delta)$ alors : $m\times m’=-1$.
    si : $m\times m’=-1$ alors : $(D) \perp (\Delta)$


    Exercice d’application:

    soit le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ .

  • Déterminer l’équation réduite de la droite $(D)$ qui passe par le point A(-1;2) et qui est perpendiculaire à la droite : $(\Delta) : y=2x-1$
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