A-Vecteur non nul :
1-DÉFINITION:
Chaque deux points différents $A$ et $B$ déterminent un vecteur $\overrightarrow{AB}$ non nul d’origine $A$ et d’extrémité $B$.
2-Les caractéristiques d’un vecteur:
Soit $\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul ( Voir la figure ci-dessous )
le vecteur $\overrightarrow{AB}$ possède les caractéristiques suivantes :
L’origine: est le point $A$.
L’extrémité: est le point $B$.
La direction : c’est La droite $(AB)$.
Le sens : c’est de $A$ vers $B$.
La norme : c’est la distance $AB$ .
3-le vecteur nul:
3-1 définition:
Chaque point $A$ détermine un vecteur nul $\overrightarrow{AA}$ noté $\overrightarrow{0}$
On écrit : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$
3-2 Remarques importantes :
La norme d’un vecteur nul est zéro ($AA=0$), mais la direction et le sens ne sont pas définis.
Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$, alors : $A=B$ . (A et B sont deux points confondus).
4-Egalité de deux vecteurs:
4-1 Propriété 1:
Dire que deux vecteurs sont égaux signifie qu’ils ont : la même direction le même sens et la même norme.
>>remarque: même direction signifie que leurs directions sont : Soit deux droites strictement parallèles, soit deux droites confondues.
EXEMPLE:
Soient $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls tels que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
cas 1 :les points sont alignés
cas 2 :les points ne sont pas alignés
4-2 Propriété 2:
soit $A$,$B$,$C$ et $D$ des points non alignés
si : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme.
si :$ABDC$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
EXERCICE D’APPLICATION:
$A$, $B$, $C$ 3 points différents dans l’espace.
1- construire le point $D$ tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
2- montrer que : $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)
1- le point $D$:
on a : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
donc : $ABDC$ est un parallélogramme.
il suffit de construire le parallélogramme $ABDC$.
2- montrons que : $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}$
on a : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
donc : $ABDC$ est un parallélogramme.
d’où : $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}$
4-3 Propriété 3 (L’opposé d’un vecteur non nul):
L’opposé d’un vecteur non nul $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $-\overrightarrow{AB}$ noté $\overrightarrow{BA}$
on écrit : $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
5-La somme de deux vecteurs:
5-1 Propriété 1( Relation de Chasles :):
Si $A$,$B$ et $C$ sont trois points distincts, alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
5-2 Propriété 2(somme de deux vecteurs):
soit $A$,$B$,$C$ et $D$ des points non alignés
si : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme.
si :$ABDC$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$
6-Vecteur et milieu d’un segment :
6-1 Propriété :
soit $A$,$B$ $M$ des points dans l’espace
si :$M$ est le milieu du segment $[AB]$ alors $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.
si : $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ alors $M$ est le milieu du segment $[AB]$.
Exemple:
dans la figure si-dessus on a : $M$ est le milieu du segment $[AB]$
donc : $M$ est le milieu du segment $[AB]$.
7- Produit d’un vecteur par un nombre réel :
7-1 Définition :
Soient $\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul, $M$ un point et $k$ un nombre réel.
On appelle le vecteur $\overrightarrow{AM}$ le produit du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par le nombre réel $k$
et on écrit : $\overrightarrow{AM}=k\times\overrightarrow{AB}$ tel que :
cas 1:
$$si\ k>0\ alors: \left\{\begin{matrix}M\in(AB).\\\vec{AB\ }\ et\ \vec{AM}\ ont\ même\ sens\\AM=k\ \times\ AB.\\\end{matrix}\right.$$
cas 2 :
$$si\ k<0\ alors: \left\{\begin{matrix}M\in(AB).\\\vec{AB\ }\ et\ \vec{AM}\ ont\ des\ sens\ opposés \\AM=-k\ \times\ AB.\\\end{matrix}\right.$$
cas 3 :
$$si\ k=0\ alors∶ \ B\ et\ M\ sont\ confondus.$$
EXERCICE D’APPLICATION:
$ABC$ un triangle.
1- construire le point $M$ tel que : $\overrightarrow{AM}=2\times\overrightarrow{AB}$
2- construire le point $N$ tel que : $\overrightarrow{BN}=\frac{-3}{2}\times\overrightarrow{BC}$
Solution :(cliquer pour afficher ou masquer la réponse)